Составление функций положения точек звеньев рычажного механизма
Основной целью данного этапа курсового проекта является нахождение передаточных функций. Для этого находятся аналитические функции положения точек звеньев механизма, а затем рассчитываются первые производные по обобщенной координате для определения передаточных отношений скоростей точек и звеньев и вторая производная по обобщенной координате для определения передаточных отношений ускорений точек и звеньев. Это следует из определений.
Рассмотрим наиболее распространенные схемы механизмов и составим для них аналитические функции положения.
К этому этапу для любого механизма известны:
- длины всех звеньев
- начало отсчета обобщенной координаты
- направление вращения коленчатого вала
Для данной схемы закон изменения обобщенной координаты записывается следующим образом:
$$\varphi_1(\varphi)=\varphi_0+\varphi\cdot\omega_{q1},$$где:
- \(\varphi\) - переменная, принимающая значения \([0;2\pi]\) или \([0;4\pi]\);
- \(\varphi_0\) - начальное значение обобщенной координаты;
- \(\omega_{q1}\) - направление вращения кривошипа, \(-1\) при вращении по часовой стрелке и \(1\) при вращении против часов стрелки;
Аналитические функции положения
Кривошипно-ползунный механизм
Рассмотрим горизонтальную конфигурацию, ориентированную вправо.
Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:
$$X_A = 0;\;Y_A=0$$Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:
$$X_B(\varphi)=X_A+l_1\cdot\cos(\varphi_1(\varphi))$$ $$Y_B(\varphi)=Y_A+l_1\cdot\sin(\varphi_1(\varphi))$$Для определения координаты точки С, рассмотрим иллюстрацию:
В прямоугольном треугольнике \(BCX_B\), один из катетов совпадает с ординатой точки В, а гипотенуза равна длине шатуна 2. Определим синус этого угла, а затем сам угол:
$$\sin(\varphi_2(\varphi))=\frac{Y_B(\varphi)-Y_A}{l_2};\;\;\varphi_2(\varphi)=arcsin\left(\frac{Y_B(\varphi)-Y_A}{l_2}\right)$$Зная угол \(\varphi_2\), легко вычислить проекцию шатуна на ось Ох и определить координаты точки С. Учтем, что механизм соосный, и направляющая ползуна совпадает с осью Ох. Тогда:
$$X_C(\varphi)=X_B(\varphi)+l_2\cdot\cos(\varphi_2(\varphi))$$ $$Y_C=Y_A$$Положение центра масс \(S_2\) находится по аналогии:
$$X_{S_2}(\varphi)=X_B(\varphi)+l_{S2}\cdot\cos(\varphi_2(\varphi))$$ $$Y_{S_2}(\varphi)=Y_B(\varphi)+l_{S2}\cdot\sin(\varphi_2(\varphi))$$Положение точки D можно определить, если вспомнить определение движения твердого тела, исходя из которого, все точки этого тела движутся по одной траектории. Тогда:
$$X_D(\varphi)=X_C(\varphi)+l_3$$ $$Y_D=Y_C$$Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для кривошипно-ползунного механизма можно найти на странице калькулятора (скоро).
Четырехшарнирный механизм
Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:
$$X_A = 0;\;Y_A=0$$Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:
$$X_B(\varphi)=X_A+l_1\cdot\cos(\varphi_1(\varphi))$$ $$Y_B(\varphi)=Y_A+l_1\cdot\sin(\varphi_1(\varphi))$$Точка D, как и точка А, покоится и принадлежит шарниру стойки, и имеет координаты:
$$X_D = X_A+l_{AD};\;Y_D=Y_A+l_{AD_y}$$Для нахождения координаты точки C определим, что, с одной стороны, она совершает качательное движение по дуге окружности с центром в точке D радиусом, равным длине коромысла \(l_{DC}\), с другой, совершает сложное движение относительно точки B.
Введем дополнительный вектор DB, и, зная координаты точки B и D, вычислим его длину:
$$l_{DB}(\varphi)=\sqrt{(X_B(\varphi)-X_D)^2+(Y_B(\varphi)-Y_D)^2)}$$Теперь найдем угол \(\gamma(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через вектор DB, например, с применением встроенной функции Mathcad \(angle\):
$$\gamma(\varphi)=angle(X_B(\varphi)-X_D, Y_B(\varphi)-Y_D)$$Рассмотрим треугольник CDB, в котором известны длина коромысла \(l_3\), длина шатуна \(l_2\), длина вектора DB \(l_{DB}\). Применим теорему косинусов и выразим угол \(\psi(\varphi)\):
$$\psi(\varphi)=arccos\left(\frac{l_{DB}(\varphi)^2+l_3^2-l_2^2}{2\cdot l_{DB}(\varphi)\cdot l_3}\right)$$Найденные углы позволяют найти угол \(\varphi_3(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение коромысла:
$$\varphi_3(\varphi)=\gamma(\varphi)-\psi(\varphi)$$Тогда координаты точки С находятся:
$$X_C(\varphi)=X_D+l_3\cdot\cos(\varphi_3(\varphi))$$ $$Y_C(\varphi)=Y_D+l_3\cdot\sin(\varphi_3(\varphi))$$Положение центра масс \(S_3\) находится аналогично:
$$X_{S_3}(\varphi)=X_D+l_{3S}\cdot\cos(\varphi_3(\varphi))$$ $$Y_{S_3}(\varphi)=Y_D+l_{3S}\cdot\sin(\varphi_3(\varphi))$$Для нахождения положения центра масс \(S_2\) необходимо определить угол \(\varphi_2(\varphi)\):
$$\varphi_2(\varphi)=angle(X_C(\varphi)-X_B(\varphi), Y_C(\varphi)-Y_B(\varphi))$$Тогда:
$$X_{S_2}(\varphi)=X_B+l_{2S}\cdot\cos(\varphi_2(\varphi))$$ $$Y_{S_2}(\varphi)=Y_B+l_{2S}\cdot\sin(\varphi_2(\varphi))$$Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора (скоро).
В заключении рассмотри шестизвенный механизм. Для механизма с качающейся кулисой алгоритм аналогичен с четырехшарнирным и шестизвенным механизмами, кроме того, этот расчет есть в разделе калькуляторы (скоро).
Шестизвенный механизм
Точка О покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:
$$X_O = 0;\;Y_O=0$$Точка A движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке O, поэтому:
$$X_A=X_O+l_1\cdot\cos(\varphi_1(\varphi))$$ $$Y_A=Y_O+l_1\cdot\sin(\varphi_1(\varphi))$$Точка D покоится, является осью вращения коромысла 3 и принадлежит шарниру стойки. Ее координаты:
$$X_D = X_O+l_{OD};\;Y_D=Y_O$$Точка B двигается по дуге окружности относительно точки D. Для нахождения координат точки B введем дополнительный вектор DA и определим его длину \(h_3\) в зависимости от обобщенной координаты:
$$h_3(\varphi)=\sqrt{ (X_A(\varphi)-X_D)^2 +(Y_A(\varphi)-Y_D)^2 }$$Определим угол \(\varphi_3\) между горизонталью и введенным вектором:
$$\cos\varphi_3(\varphi) = \frac{X_A(\varphi)-X_D}{h_3(\varphi)}\;\;\;\sin\varphi_3(\varphi) = \frac{Y_A(\varphi)-Y_D}{h_3(\varphi)}$$ $$\varphi_3(\varphi)= arctan\left(\cos\varphi_3(\varphi), \sin\varphi_3(\varphi))\right)$$Тогда координаты точки B:
$$X_B=X_D+l_{DB}\cdot\cos(\varphi_3(\varphi))$$ $$Y_B=Y_D+l_{DB}\cdot\sin(\varphi_3(\varphi))$$Точка С совершает возвратно-поступательное движение по вертикали, проходящей через точку D, поэтому:
$$X_C=X_D$$Для определение координаты точки С по оси ординат вводим угол \(\varphi_4(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение шатуна:
$$\varphi_4(\varphi)=\pi+arccos\left(\frac{X_B(\varphi)-X_C}{l_{BC}}\right)$$Тогда:
$$Y_C(\varphi)=Y_B(\varphi)+l_{BC}\cdot\sin(\varphi_4(\varphi))$$Если точка С принадлежит твердому телу, и в исходных данных указан вылет резца, тогда координаты точки \(S_5\):
$$Y_{S_5}(\varphi)=Y_C(\varphi)\;\;\;X_{S_5}=X_C-l_{влт}$$Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора (скоро).