Статья подготовлена на основе материалов, разработанных под руководством Александра Николаевича Шестюка, - автора фундаментальных трудов / монографий / научных статей, крупного специалиста в области лопаточных машин всех видов. Машины, к которым приложил руку Александр Николаевич, работают на многих предприятиях России до сих пор, а вновь выпускаемые созданы на заложенном им конструктивном фундаменте.
Перечень принятых обозначений
Таблица с обозначением физических величин
| Обозначение | Расшифровка |
|---|---|
| \(x_s\) | оптимальная относительная приведенная скорость |
| \(с_r\) | проекция вектора абсолютной скорости на нормаль к окружной скорости при соответствующих условиях |
| \(с_u\) | проекция вектора абсолютной скорости на вектор окружной скорости при соответствующих условиях |
| \(C_{1s}\) | изоэнтропная скорость на выходе из соплового аппарата |
| \(C_s\) | изоэнтропная скорость |
| \(R_i\) | индивидуальная газовая постоянная |
| \(T_0,\;p_0\) | температура и давление на входе в турбодетандер |
| \(T_1,\;p_1\) | температура и давление на выходе из соплового аппарата турбодетандера |
| \(T_2,\;p_2\) | температура и давление на выходе из рабочего колеса турбодетандера |
| \(l_0\) | характерный линейный размер |
| \(n_в\) | частота вращения |
| \(v_s,\;ψ\) | скоростной коэффициент рабочего колеса |
| \(w_r\) | проекция вектора относительной скорости на нормаль к окружной скорости при соответствующих условиях |
| \(w_u\) | проекция вектора относительной скорости на вектор окружной скорости при соответствующих условиях |
| \(x_s\) | приведенная скорость |
| \(η_s\) | изоэнтропный коэффициент полезного действия детандера |
| \(h\) | энтальпия рабочего вещества при соответствующих условиях |
| \(Δh_S\) | перепад энтальпий в соответствующем изоэнтропном процессе |
| \(Eu\) | число Эйлера |
| \(Fr\) | число Фруда |
| \(G\) | массовый расход рабочей среды при соответствующих условиях |
| \(M\) | число Маха |
| \(N\) | мощность |
| \(R\) | универсальная газовая постоянная |
| \(Re\) | число Рейнольдса |
| \(Sh\) | число Струхаля |
| \(V\) | объемный расход рабочей среды при соответствующих условиях |
| \(Z\) | число лопаток рабочего колеса или соплового аппарата |
| \(a\) | скорость звука местная |
| \(c\) | вектор абсолютной скорости при соответствующих условиях |
| \(d\) | диаметр соответствующего элемента проточной части |
| \(f\) | площадь проточной части при соответствующих условиях |
| \(k\) | показатель адиабаты (изоэнтропы) |
| \(s\) | энтропия рабочего вещества при соответствующих условиях |
| \(u\) | вектор окружной скорости при соответствующих условиях |
| \(v\) | скорость потока местная |
| \(w\) | вектор относительной скорости при соответствующих условиях |
| \(z\) | коэффициент сжимаемости |
| \(Ω,\;θ\) | степень реактивности |
| \(α\) | угол установки сопла или лопатки при соответствующих условиях |
| \(β\) | угол потока при соответствующих условиях |
| \(γ\) | показатель политропы |
| \(δ\) | отношение давлений на входе и выходе турбодетандера |
| \(μ\) | молярная масса |
| \(ρ\) | плотность рабочего вещества при соответствующих условиях |
| \(φ\) | скоростной коэффициент соплового аппарата |
Автомодельность процесса расширения
Проведение испытаний классических
и (чаще) крупнотоннажных турбодетандеров (ТД) в заводских условиях сопровождается сложностью, связанной с необходимостью подтверждения сходимости заявленной расчетной эффективности реальной эксплуатационной. Действительная эффективность машины может быть прямым образом определена только в близких условиях испытаний по отношению к реальным эксплуатационным, что достижимо для небольших машин, работающих в классических цикла ожижения и термостатирования с чистыми рабочими веществами.
Характеристики крупнотоннажных машин в условиях единичного производства в процессе испытаний часто определяются при пониженных числах оборотов, при нерасчетном отношении давлений или на модельном рабочем веществе, свойства которого отличны реальному эксплуатационному. Корректность результатов испытаний и пересчет характеристик в этом случае осуществляется при выполнении определенных условий, характеризующих достижение автомодельности процессов расширения в проточной части ТД при испытаниях и при условиях реальной эксплуатации.
Вопросам обеспечения автомодельности процесса расширения и сжатия в турбомашинах в процессе испытаний посвящено множество изданий [1, 2, 3]. Помимо пересчета энергетических характеристик машины с модельных условий испытаний (рабочая среда и ее расход, термодинамические параметры на входе и выходе из ступени/машины) на реальные рабочие принципы подобия применяются при расчете и проектировании вновь разрабатываемых агрегатов.
В [1] показано, что требования к строгому соответствию наиболее часто применяемых критериев подобия (\(Re=idem\), \(M=idem\) и \(k=idem\)) существенно усложняют процесс исследования машин при испытаниях, а их проектирование становится практически невозможным. Отмечается, что анализ влияния критериев подобия на процессы, протекающие в машинах, является актуальным для решения конструкторских и исследовательских задач.
При исследовании многоступенчатых компрессорных машин роторного типа использование метода подобия для расчета обобщенной характеристики машины невозможно [1], поскольку она формируется при взаимном влиянии и наложении индивидуальных характеристик отдельных ступеней.
С другой стороны, этот факт не исключает целесообразность исследования индивидуальных характеристик ступеней машины наряду с ее интегральной характеристикой для последующего дифференцированного анализа по методу подобия каждой ступени. Анализ по ступеням в большинстве случае осложнен конструктивными особенностями машины, поэтому требует соответствующих технологических решений для размещения контрольно-измерительных приборов еще на этапе проектирования.
В [2] приводятся условия учета критериев автомодельности процесса сжатия газа в зависимости от числа Маха. Так при дозвуковом режиме течения влияния показателя адиабаты на изменение плотности несущественно, поэтому дозвуковая область автомодельна по отношению к этому критерию. Влияние числа Маха на процесс должно быть учтено уже при его значениях более 0,5.
Для выбора определяющих критериев подобия процесса расширения был проведен анализ критериальных чисел, характеризующих механическое и кинематическое подобие, результаты которого представлены в таблице 1.
| Критерий | Значение | Физический смысл | Особенности |
|---|---|---|---|
| Струхаля \(Sh\) |
\(Sh\sim \frac{u}{c_0}\) | Характеризует подобие динамических процессов истечения пульсирующих потоков | Используется для детального анализа геометрических и прочностных характеристик проточной части. Критерий позволяет анализировать динамические процессы, но в рамках расчета проточной части турбомашины отожествляется со статическими процессами |
| Фруда \(Fr\) |
\(Fr=\frac{c_0^2}{u^2}\) | Характеризует подобие процессов, в которых преобладают силы тяжести, объемные силы и силы инерции при вращении | Выполняется для реальных и модельных режимов работы турбомашин благодаря особенностям методик расчета турбомашин, а именно соотношению соотношению скорости течения к окружной скорости |
| Рейнольдса \(Re\) |
\(Re=\frac{l_0 \cdot c_0}{\nu _0}\) | Характеризует режим гидравлического течения, является мерой соотношения между силами инерции и вязкостного трения в потоке | Линейный размер для расчета критерия может быть любым при условии полного подобия проточных частей. Связывает термодинамические характеристики потока с полями скоростей |
| Эйлера \(Eu\) |
\(Eu=\frac{1}{\gamma \cdot M^2}\) | Характеризует подобие систем, в которых действуют силы механического давления | Связывает перепад давлений на участке проточной части и реализуемый на нем скоростной напор. Может быть выражен через локальную скорость звука и критерий Маха |
| Маха \(M\) |
\(M=\frac{v}{a}\) | Характеризует соотношение между скоростью потока в канале и локальной скоростью звука | Накладывает требование к равенству плотностей в соответсвующих точках проточной части рабочего агрегата и его модели. Гидродинамическое подобие систем достигается при близках значений показателей политропы рабочего и модельного рабочего вещества |
С учетом следующих из описанного выше отечественного опыта испытания центробежных компрессоров, наработанного в рамках научной школы Ю.Б. Галеркина, рекомендаций и анализа критериальных чисел в качестве определяющего критерия автомодельности процесса расширения принимается число Маха:
$$M=v/a$$где:
\(v\) – локальная скорость потока в сечении, м/с;
\(a\) – местная скорость звука, м/с.
Для формулирования критериев достижения автомодельности процессов расширения при модельных условиях проведения испытаний и реального расширения в условиях эксплуатации вводится ряд допущений:
- в проточной части соплового аппарата (СА) и на выходе из него нет жидкой фазы;
- расчет проводится для одноступенчатой машины или для одной ступени с полностью дифференцированными и контролируемыми параметрами вдоль проточной части, а именно на входе и выходе из СА и на выходе из рабочего колеса (РК);
- расчет проводится для диапазона рабочих параметров, корректность определения теплофизических свойств в котором обоснована;
- функция изменение температуры по длине проточной части имеет линейный вид.
Местная скорость звука может быть определена непосредственно по теплофизическим параметрам (при определенной температуре и давлении)
\(a=f(T,p(T))\) или с учетом геометрических особенностей СА
где: \(T\) – температура потока в сечении, K;
\(p\) – давление потока в сечении, Па;
\(a\) – местная скорость звука, определенная как \(f(T,p(T))\), м/с;
\(a'\) – местная скорость звука, определенная с учетом геометрических особенностей СА (скоростного коэффициента), м/с;
\(R_i\) – индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кг⋅K);
\(k(T)\) – показатель адиабаты;
\(n(T)\) – показатель политропы.
Показатель адиабаты по определению
$$γ(T)=\frac{a(T)⋅μ}{T⋅R},$$где: \(μ\) – молярная масса рабочего вещества, кг/моль;
\(R=8.314\)– универсальная газовая постоянная, Дж/(моль⋅K).
Показатель политропы с учетом скоростного коэффициента СА
$$n(T)=\frac{k(T)}{k(T)-φ^2⋅(k(T)-1)},$$где: \(φ\) – скоростной коэффициент СА;
В зависимости от относительного отклонения значений местных скоростей звука, рассчитанных с учетом скоростного коэффициента СА или без,
$$\frac{|a(T)-a'(T,φ)|}{max(a(T),a'(T,φ)} =Δ\; \%,$$в качестве критерия автомодельности процесса расширения принимается:
- \(Δ≤3\;\%\) – автомодельность процесса расширения считается достигнутой, если в горле соплового аппарата совпадает для расчетного и модельного (') режима число Маха (простой критерий подобий)
- \(Δ>3\;\%\) – автомодельность процесса расширения считается достигнутой, если в горле соплового аппарата совпадает для расчетного и модельного (') режима произведение показателя политропы на квадрат числа Маха (составной критерий подобия)
Реперное значение отклонения (\(Δ=3\;\%\)) установлено исходя из учета погрешностей измерения температуры и давления, а также определения теплофизических параметров потоков по температуре и давлению с допустимой для инженерных расчетов погрешностью не превышающей 3…5 %. Принимается, что сверх установленного реперного значения влияние конструктивных особенностей СА на процесс расширения становится существенным, а компенсация этого влияния осуществляется за счет учета значения показателя политропы в составном критерии подобия.
Для выявления индикаторных особенностей ТД, автомодельность процесса расширения в которых достигается преимущественно при выполнении составного критерия подобия, рассмотрен процесс расширения в крупнотоннажном турбодетандерном агрегате (ТДА), работающем на природном газе, основные параметры которого представлены в таблице 2.
| Параметр | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| Рабочее вещество | \(CH_4\) + \(C_2 H_6\) + \(C_4 H_8\) | трехкомпонентная модель природного газа |
| Молярная масса, кг/моль | \(μ\) | 0,018 |
| Индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кг⋅K) | \(R_i\) | 518,3 |
| Изоэнтропный КПД, - | \(\eta _s\) | 0,87 |
| Расчетная температура начала процесса расширения, K | \(T_0\) | 288,1 |
| Расчетное давление начала процесса расширения, МПа | \(p_0\) | 11,89 |
| Расчетное давление конца процесса расширения, МПа | \(p_2\) | 3,35 |
| Скоростной коэффициент СА, - | \(φ\) | 0,95 |
| Расчетная степень реактивности с учетом коэффициента возврата кинетической энергии, - | \(Θ\) | 0,5 |
На рисунке 1 представлен результат расчета местной скорости звука для проточной части ТДА с учетом допущений, принятых ранее.
Первой индикаторной особенностью ТД, достижение автомодельности процессов расширения в которых определяется составным критерием подобия, является смесевое рабочее вещество, поскольку компоненты с существенно разными характеристиками значительно влияют на поведение показателя политропы и показателя адиабаты в рабочем диапазоне параметров машины. Использование смесевого рабочего вещества не является достаточным основанием для выбора составного критерия подобия.
Вторая индикаторная особенность – степень реактивности (\(Θ>0,7\)), при которой область наибольших отклонений местных скоростей звука, рассчитанных с учетом влияния скоростного коэффициента СА и без, имеет наибольшее значение. При степени реактивности \(Θ=0,85\) отклонение \(Δ≈5\;\%\), что подразумевает использование составного критерия подобия.
С учетом вышесказанного можно сделать вывод, что для наиболее распространенных ТД, работающих на чистых рабочих веществах в составе криогенных систем, при степени реактивности \(Θ>0,7\) использование простого критерия подобия является достаточным для обеспечения условий автомодельности процессов расширения при модельных условиях испытаний и реальных рабочих с высокой точностью.
Приведенные характеристики ТД
При исследовании энергетических характеристик турбодетандеров результаты испытаний представляют в виде приведенных характеристик, которые справедливы для одного конкретного отношения давления на входе и выходе. Здесь и далее в методике расчета характеристик ТД применяются обозначения, соответствующие рисунку 2.
Выделяют следующие приведенные характеристики [4, 5, 6]:
- приведенный расход, кг/с:
где: \(z_{0_m}\) – усредненный коэффициент сжимаемости рабочего вещества вдоль проточной части СА и РК;
\(G\) – массовый расход рабочей среды через проточную часть, кг/с;
\(p_{пр}\) – давление на входе в ТД на выбранном режиме испытаний, Па;
\(p_0\) – давление на входе в ТД расчетное, Па;
\(T_{пр}\) – температура на входе в ТД на выбранном режиме испытаний, K;
\(T_0\) – температура на входе в ТД расчетная, K;
\({R_i}_{пр} \) – индивидуальная газовая постоянная рабочего вещества при выбранном режиме испытаний, Дж/(кг⋅K);
\(R_{0_i}\) – индивидуальная газовая постоянная рабочего вещества, Дж/(кг⋅K).
- приведенная мощность, Вт:
где: \(N_0\) – мощность ТД расчетная, Вт.
- приведенная частота вращения ротора, \(с^{-1}\):
где: \(n_{в_0}\)– номинальная частота вращения ротора ТД, \(с^{-1}\).
- приведенный диаметр, м:
где: \(d_{1_0}\) – диаметр РК на входе, м;
\(V_2\) – объемный расход рабочей среды на выходе из ТД на выбранном режиме испытаний, м3/с;
\(Δh_s\) – изоэнтропный перепад на выходе и выходе из ТД на выбранном режиме испытаний, Дж/кг.
- относительный КПД ТД:
где: \(η_s\) – изоэнтропный КПД ТД на выбранном режиме испытаний, -;
\(η_{s_{max}}\) – максимальный изоэнтропный КПД ТД, соответствующий некоторой оптимальной приведенной скорости {x_s}_опт в серии режимов испытаний;
\(\bar{x_s}=\frac{x_{s_{пр}}}{x_{s_{опт}}}\) – оптимальная относительная приведенная скорость, определенная как отношение приведенных скоростей на выбранном режиме испытаний к оптимальной приведенной скорости.
Общий вид приведенных энергетических характеристик ТД (а) при некотором фиксированном перепаде давления \(δ=\frac{p_0}{p_{пр}}\) на выходе и выходе, а также зависимость относительного КПД ТД от относительной приведенной скорости (б) представлены на рисунке 3.
Испытания на рабочем веществе, отличном от расчетного
Наиболее распространенные рабочие вещества, которые используются для испытаний турбомашин, являются воздух и азот. На рисунке 4 представлена технологическая схема подготовки рабочего вещества для подачи в турбомашину в процессе испытаний.
Блок компримирования (рис. 4, А1) в случае, когда воздух принят в качестве рабочего вещества, включает заслонки, фильтры, компрессор (чаще винтовой), охладители воздушные или водяные, маслоотделитель, шкаф управления и пр. Если испытания проводятся с принятым в качестве рабочего вещества азотом, то источником последнего может быть модульная азотная станция с дополнительным дожимающим компрессором и стационарными ресиверами высокого давления или централизованная система компримирования и выдачи азота для крупных предприятий.
Блок очистки и осушки (рис. 4, А2) применяется для предотвращения попадания взвешенных механических частиц в проточную часть машины и образования в ней кристаллов льда. Осушка рабочего вещества также проводится с целью снижения влияния влажности на тепловой баланс ТД в границах испытательного стенда.
Рампа распределительная (рис. 4, А3) обеспечивает подачу рабочего вещества с требуемыми параметрами на расширение и технологические нужды, например, для подпора рабочего колеса или в газостатические опоры.
Стенд испытательный (рис. 4, А4) помимо непосредственно объекта испытаний содержит комплект контрольно-измерительных приборов, запорной и регулирующей арматуры, элементы трубопроводов и фильтрующие устройства. При необходимости обеспечения конретной плотности потока на входе в сопловой аппарат схема может быть дополнена электрическими нагревателями с регулируемой мощностью.
Экологическая и технологическая безопасность, обеспечиваемая при использовании воздуха или азота для испытания машин, с учетом распространенности и относительной дешевизны необходимого оборудования требуют разработки и обоснования методик пересчета энергетических характеристик машин, реальное рабочее вещество в которых отличается от принятого в модельных условиях.
Методика пересчета энергетических характеристик машин основана на выполнении условий, принятых во втором разделе настоящей главы. Алгоритм расчета схож для простого и составного критериев автомодельности процессов расширения. Отличие заключается в необходимости учета множителя – показателя политропы и степени числа Маха на выходе из СА.
При выполнении условия
$$M=M',$$ $$M=v/a;\;M'=v'/a'$$где: \(M'\)– число Маха при модельных условиях испытаний (здесь и далее величины отмеченные «'» относятся к модельным условиям);
\(M\) – число Маха при эксплуатационных (расчетных) условиях, справедливо для простого критерия автомодельности:
$$\left(\frac{ρ_2}{ρ_0}\right)'=\bar{ρ'};\;\frac{ρ_2}{ρ_0}=\bar{ρ};\;\bar{ρ}≈\bar{ρ_i'},$$где: \(ρ_0, ρ_2\) – плотность потока на входе и выходе ТД.
Для составного критерия автомодельности
$$\left( \frac{ρ_2}{ρ_0} \right)'=\bar{ρ'};\; \frac{ρ_2}{ρ_0} =\bar{ρ};\;n⋅\bar{ρ}^2≈n'⋅\bar{ρ_i'}^2.$$Степень расширения при расчетных параметрах в ТД:
$$δ=\frac{p_0}{p_2},$$где: \(p_0, p_2\) – давление потока на входе и выходе ТД.
Давление на входе в ТД в процессе испытаний выбирается произвольно в соответствии с технологическими возможностями испытательного участка. Расчет давления конца процесса расширения может быть выполнен итерационным методом или с использованием данных из библиотеки термодинамических свойств веществ.
Для итерационного расчета в качестве первого приближения для степени расширения при модельных условиях в ходе испытаний принимается
$$δ_i'=\frac{p_0'}{p_2'}=δ,$$где: \(p_0', p_2'\) – давление потоков на входе и выходе ТД при модельных условиях.
Пересчитанное отношение плотностей при модельных условиях – итерируемая величина
$$\bar{ρ_i'}=\frac{1}{δ_i'}⋅\left[ 1-η_s\cdot(1-δ_i')^{-\frac{k-1}{k}}\right]^{-1},$$где: \(η_s\) – расчетный изоэнтропный КПД ТД,
\(k\) – показатель адиабаты модельного рабочего вещества.
Диапазон итерации величины \(δ_i'\) зависит от соотношения плотностей рабочих веществ в модельных условиях и при условиях эксплуатации. Если плотность рабочего вещества при условиях эксплуатации больше, чем плотность модельного рабочего вещества при одних теплофизических параметрах, то итерируемое значение должно быть увеличено на некоторый шаг на каждой итерации.
Критерием завершения итерационного расчета является выполнение условия для простого критерия подобия
$$|\bar{ρ}-\bar{ρ_i'}|_i< 0.01,$$для составного
$$|n(T_1)⋅\bar{ρ}^2-n'(T_1')⋅\bar{ρ_i'^2}|< 0.01,$$где: \(T_1\) – температура на выходе из СА ТД.
В противном случае задается новое приближение и повторно рассчитывается соотношение плотностей
$$δ_{i+1}'\rightarrow \bar{ρ_{i+1}'}\rightarrow |\bar{ρ}-\bar{ρ_{i+1}'} |_{i+1}.$$После выполнения критерия завершения итерационного расчета определяется давление на выходе из ТД при модельных условия
$$p_2'=\frac{p_0'}{δ_i'}.$$Аналогичного результата можно достигнуть при использовании библиотеки термодинамических свойств веществ. В этом случае алгоритм расчета для простого критерия подобия заключается в определении давления \(p_2'\) из комплекса
$$ρ_2'(p_2',h_0'+η_s⋅Δh_s' )=\bar{ρ}⋅ρ_0'(p_0',T_0'),$$а для составного критерия подобия в определении давления \(p_2'\) из комплекса
$$ρ_2' (p_2',h_0'+η_s⋅Δh_s' )=\sqrt{\frac{n(T_1)}{n'(T_1'}}⋅\bar{ρ}⋅ρ_0' (p_0',T_0'),$$где: \(n(T_1)\) – значение показателя политропы при условиях на выходе из СА ТД;
\(Δh_s'=h_0'-h_2s' \) – изоэнтропный перепад на входе и выходе ТД при модельных условиях испытаний;
\(h_0'\) – энтальпия потока на входе в ТД при модельных условиях испытаний;
\(h_2s'=f(p_2',s_{2s}'=s_0')\) – энтальпия на выходе изоэнтропного ТД при модельных условия испытаний;
\(s_0'\) – энтропия на входе ТД при модельных условия испытаний.
Температура на выходе из СА ТД при модельных условиях испытаний
$$T_1'=f(p_1',h_0'+η_s⋅(h_{1s}'-h_0')),$$где: \(p_1'=p_0'-(p_0'-p_2')⋅θ\) – давление на выходе из СА ТД;
\(θ\) – расчетная степень реактивности ТД.
По известным температуре и давлении на входе в ТД при модельных условиях определяются теплофизические свойства модельного рабочего вещества
$$p_0', T_0'\rightarrow ρ_0', h_0', s_0'.$$По найденному ранее давлению на выходе из ТД и энтропии потока на входе в ТД определяются теплофизические свойства рабочего вещества для конца изоэнтропного процесса расширения при модельных условиях
$$p_2', s_0'=s_{2s}'\rightarrow ρ_{2s}', h_{2s}', T_{2s}'.$$где: \(ρ_{2s}'\)– плотность потока на выходе из изоэнтропного ТД;
\(T_{2s}'\) – температура на выходе из изоэнтропного ТД.
Частота вращения ротора при условиях испытаний
$$n_в'=n_в\cdot \sqrt{\frac{Δh_s'}{Δh_s}},$$где: \(n_в\) – номинальная расчетная частота вращения ротора ТД;
\(h_s\) – номинальный расчетный изоэнтропный перепад ТД.
Требуемый расход рабочей среды на модельном режиме при испытаниях, обеспечивающий выполнение условия автомодельности процессов расширения при условиях эксплуатации и испытаний
$$G'=G⋅\frac{n_в'}{n_в}⋅\frac{ρ_0'}{ρ_0}⋅\frac{\left[ 1-\frac{Δh_s'⋅(1-θ)}{h_0'} \right]^{\frac{k}{k-1}}}{\left[ 1-φ^2⋅\frac{Δh_s'⋅(1-θ)}{h_0'} \right]}$$ $$n_в'=n_в\cdot \sqrt{\frac{Δh_s'}{Δh_s}}$$где: \(φ\) – скоростной коэффициент СА;
\(G\) – массовый расход рабочего вещества, кг/с.
Испытания на пониженных частотах вращения ротора
Испытания на пониженных частотах вращения ротора обусловлены технологической невозможностью обеспечения расчетного расхода рабочего вещества на входе в ТД или увеличением давления за СА, что сопровождается повышением степени реактивности. Если степень расширения и рабочее вещество на всех режимах работы ТД в процессе испытаний соответствует расчетным, возможно определение действительных энергетических характеристик машины с большой точностью (порядка 2…3 %, [5]) по следующему алгоритму.
Основная зависимость, связывающая изоэнтропный КПД ТД с приведенными характеристиками,
$$\frac{η_{s_i}}{η_{s'_{max}}}=f\left(\frac{x_{s_i}}{x_{s_{опт}}}\right)=f(\bar{x_s})≅2⋅\bar{x_s}-\bar{x_s}^2$$где: \(η_{s_i}\) – изоэнтропный КПД ТД, определенный по соответствующим зависимостям на выбранном режиме испытаний;
\(x_{s_{опт}}\) – расчетная оптимальная приведенная скорость;
\(x_{s_i}\) – приведенная скорость на выбранном режиме испытаний;
\(η_{s_{max}}'\) – максимальный действительный изоэнтропный КПД ТД.
Максимальный действительный КПД ТД определяется как
$$η_{s_{max}}'≅\frac{η_{s_i}}{2⋅\bar{x_s}-\bar{x_s}^2},$$а затем сравнивается с номинальным значением, принятым при расчете машины. На основании результатов сравнения делается заключение о соответствии заявленных технических характеристик на этапе расчета и проектирования машины с действительными, полученными в ходе натурных испытаний. Иллюстрация определения изоэнтропного КПД ТД при пониженных частотах вращения ротора представлена на рисунке 5.
Аналогичным образом может быть определен изоэнтропный КПД \(η_{s_i}\) для другого режима работы при известном максимальном действительном значении \(η_{s_{max}}'\) для произвольной приведенной скорости \(x_{s_i}\)
$$η_{s_i}=η_{s_{max}}'⋅\left(2⋅\frac{x_{s_i}}{x_{s_{опт}}}-\left(\frac{x_{s_i}}{x_{s_{опт}}}\right)^2\right).$$Увеличить точность определения величины максимального действительного изоэнтропного КПД ТД \(η_{s_{max}}'\) возможно в случае, когда конструкция машины допускает контроль величины давления на выходе из СА, при реализации следующего алгоритма.
Для режима испытаний ТД, соответствующего максимальному числу оборотов, по известным температуре и давлении на входе, а также давлении на выходе из СА определяется изоэнтропный перепад
$$Δh_{s_{НА}}=h_0-h_{1s}$$Скоростной коэффициент НА [5]:
$$φ=-a+\sqrt{a^2+b^2},$$где:
$$a=\frac{f_1⋅ρ_0⋅h_0⋅sin(α_1)}{G⋅\sqrt{2⋅Δh_{s_{НА}}}}⋅\left( 1-\frac{h_{s_{НА}}}{h_0} \right)^{\frac{k}{k-1}},$$ $$b=\frac{h_0}{Δh_{s_{НА}}}$$\(f_1\) – площадь горла СА, м2;
\(G\) – массовый расход рабочего вещества, кг/с;
\(α_1\)– угол выхода потока из СА, град;
\(ρ_0\) – плотность потока на входе в ТД, кг/м3.
Плотность потока на выходе из СА
$$ρ_1=ρ_0⋅\frac{\left( 1-\frac{h_{s_{НА}}}{h_0} \right)^{\frac{k}{k-1}}}{1-φ^2⋅\frac{Δh_{s_{НА}}}{h_0}}$$В случае, когда помимо контроля давления на выходе из СА имеется конструктивная возможность для измерения температуры на выходе из СА, скоростной коэффициент может быть определен через прямую зависимость
$$φ=\frac{G}{f_1⋅ρ_1⋅\sqrt{2⋅{Δh}_{s_{НА}}}⋅sin(α_1)}$$Далее определяются: по известным значениям давления и температуры на входе в ТД, а также давлению на выходе из ТД изоэнтропный перепад, Дж/кг:
$$Δh_s=h_0-h_{2s},$$- изоэнтропная скорость, м/с:
- изоэнтропная скорость на выходе из СА, м/с:
- скорость потока на выходе из СА, м/с:
- окружные скорости на входе и выходе из РК, м/с:
- относительная скорость на входе в РК, м/с:
- по известным значениям давления и плотности или давления и температуры на входе в РК, а также значению давления на выходе из ТД изоэнтропный перепад на РК:
- относительная скорость на выходе из РК в изоэнтропном процессе расширения, м/с:
- скоростной коэффициент РК:
Определенные значения скоростных коэффициентов СА и РК используются далее по методике для итерационного поиска действительного изоэнтропного перепада на СА.
Для каждого значения \(x_{s_i}\) при условиях испытаний последовательно задается значение изоэнтропного перепада на СА с некоторым шагом в диапазоне
$$Δh_{s_{НА}}'∈[0…Δ{h_s}].$$Далее по расчету величины, отмеченные символом «'», относятся к текущей итерации. Если массовый расход рабочей среды не определяется прямым измерением, рассчитывается плотность на выходе из СА
$$ρ_1'=ρ_0⋅\frac{\left( 1-\frac{Δh_{s_{НА}}'}{h_0'}\right)^\frac{k}{k-1}}{1-φ^2⋅\frac{Δh_{s_{НА}}'}{h_0'}}$$Аналогичный результат может быть получен при использовании библиотеки теплофизических свойств и известном значении давления на выходе из СА
$$ρ_1'=f(p_1',h_0'-Δh_{s_{НА}}')$$Если дополнительно известно значение температуры на выходе из СА, то необходимость в итерационном подходе отсутствует и расчет осуществляется для конкретно определенного перепада энтальпий на входе и выходе СА
$$Δh_{s_{НА}}'=h_0'-h_1'(p_1',T_1').$$Определяются радиальная и окружная проекции вектора абсолютной скорости потока на выходе из СА
$$c_1r'=\sqrt{2⋅Δh_{s_{НА}}'}⋅φ⋅sin(α_1),$$ $$c_1u'=\sqrt{2⋅Δh_{s_{НА}}'}⋅φ⋅cos(α_1).$$Рассчитывается массовый расход рабочего вещества через проточную часть при условиях испытаний
$$G'=f_1⋅ρ_1'⋅c_{1r}'.$$При текущей частоте вращения определяются окружные скорости на входе и выходе из РК
$$u_1'=n_в'⋅d_1;\;\;u_2'=n_в'⋅d_2.$$Определяется квадрат относительной скорости на выходе из СА
$$w_1^2=c'^2_{1r}+(c'_{1u}-u_1')^2.$$Рассчитывается изоэнтропный перепад на РК
$$Δh'_{РК}=(h'_0-Δh'_{s_Н})-h'_{2s},$$где: \(h_0'=f(T_0',p_0')\) – энтальпия потока на входе в ТД при условиях испытаний, определенная по известным температуре и давлении;
\(h_2s'\) – энтальпия на выходе из ТД по известным параметрам начала процесса расширения и давлению на выходе при условиях испытаний.
Рассчитывается относительная скорость на выходе из РК, м/с
$$w'_2=ψ\cdot\sqrt{w_1'^2+u_2'^2-u_1'^2+2⋅Δh'_{s_{НА}}}.$$Рассчитывается окружная проекция относительной скорости на выходе из РК
$$w_{2u}=w_2⋅cos(β_2).$$Определяются радиальная и окружная проекции абсолютной скорости на выходе из РК при условиях испытаний
$$c_{2r}'=\frac{G'}{f_2⋅ρ_2'}\;\;c_{2u}'=u_2-w_{2u}.$$Рассчитывается угол выхода потока из РК при относительном движении
$$β_2'=arcsin\left(\frac{c_{2r}}{w_2}\right).$$Если значение \(β_2'\) с достаточной точностью совпадает с номинальной расчетной величиной \(β_2\), то итерационный расчет заканчивается, в противном случае расчет проводится снова при новом принятом значении \(Δh_{s_Н}'\).
Для значения \(Δh_{s_Н}'\), при котором \(β_2'≈β_2\):
- определяется действительный перепад энтальпий на ТД, Дж/кг:
- по известным значениям давления и температуры на входе в ТД, а также давлению на выходе из ТД определяется изоэнтропный перепад:
\(Δh_s'=h_0'-h_{2s}', \)
- действительный изоэнтропный КПД ТД при условиях испытаний:
Найденное значение \(η_s'\) сравнивается с результатом, полученным по упрощенному варианту \(η_{s_i}\). Если значения совпадают с достаточной точностью, дальнейший расчет проводится по упрощенной методике.
Испытания на нерасчетном отношении давлений
Испытания машины, проводимые при нерасчетном отношении давления, сопровождаются построением зависимости изоэнтропного КПД ТД от приведенной скорости
$$η_s=f(x_s).$$По полученной зависимости определяется значение \(η_{s_{max}}\), соответствующее некоторому \(x_{s_{опт}}\), для которого при условиях испытаний и известном значении давления на выходе из СА \(p_1\) рассчитываются коэффициенты
$$a=\frac{f_1⋅ρ_0⋅h_0⋅sin(α_1)}{G⋅\sqrt{2⋅Δh_{s_{НА}}}}⋅\left( 1-\frac{h_{s_{НА}}}{h_0} \right)^{\frac{k}{k-1}},$$ $$b=\frac{h_0}{Δh_{s_{НА}}},$$ $$Δh_{s_{НА}}=h_0-h_{1s}$$Расход рабочей среды определяется прямым измерением или по алгоритму, описанному выше. По полученному значению коэффициента a определяется скоростной коэффициент СА
$$φ=-a+\sqrt{a^2+b^2}.$$С учетом ранее изложенной методики определяется изоэнтропная относительная скорость на выходе из РК \(w_{2s}\), а затем рассчитывается скоростной коэффициент РК при известных условиях на выходе из ТД
$$ψ=\frac{G}{f_2⋅ρ_2⋅w_{2s}⋅sin(β_2)}.$$Определение действительного изоэнтропного КПД ТД при условиях испытаний осуществляется аналогично алгоритму, описанному выше, при котором в итерационном расчете определяется изоэнтропный перепад в СА при выполнении условия совпадения угла выхода потока из РК.
Неявный пересчет энергетических характеристик ТД
При испытаниях ТД может возникнуть ряд проблем, решение которых может оказаться затруднительным или требовать дополнительных капитальных затрат на модернизацию испытательного участка. К таким проблемам можно отнести:
- технологическую невозможность обеспечения условий автомодельности процессов расширения для реальных рабочих и модельных условий работы машины вследствие существенно большей номинальной производительности ТД относительно тех условий, что могут быть обеспечены при испытаниях в части: расхода рабочей среды, давления на входе в ТД, поддержание расчетной степени расширения;
- существенное различие теплофизических свойств номинальной рабочей среды и используемой при модельных режимах при условиях испытаний;
- конструктивные особенности машины, при которых контроль параметров потока на выходе из СА невозможен или требует модификаций по месту, что приведет к невозможности эксплуатации машины по назначению заказчиком.
Помимо проблем, возникающих при испытаниях ТД, в проектно-конструкторские отделы от заказчиков или эксплуатирующих организаций поступают запросы на анализ возможностей повышения производительности функционирующих систем с минимальными вложениями или использования уже разработанных и изготовленных машин с рабочими средами, отличающимися от номинально расчетных. Например, на Бованенковском месторождении в качестве рабочей среды может быть одна из более чем 20 вариантов различных составов природного газа.
Описанные выше ситуации требуют комплексного научно-технического анализа, поскольку подразумевают необходимость учета деградации машин и аппаратов вследствие износа и воздействия негативных факторов условий эксплуатации, что в большинстве случаев вносит неопределенность при задании параметров системы в ходе расчета на форсированном режиме работы или при отличных от номинальных рабочих сред.
Наиболее рациональным путем решения таких проблем является использование достижений информационных технологий в части нейронных сетей и машинного обучения в целом. Нейронные сети характеризуются способностью выступать в качестве многопараметрических аппроксиматоров, для которых природа и источник данных фактически не имеют никакого значения. Помимо этого, нейронные сети способны учитывать неявную связь входных параметров, наличие которой не было определено аналитически с учетом ряда заложенных при расчетах допущений. Например, для ТД влияние осевых и радиальных составляющих вибрационных перемещений оказывает влияние на энергетическую эффективность, но не может быть учтено в расчетах.
Строгое описание этого явление может быть показано через адаптированную к проблеме теорему Гёделя:
«Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории, существует такая функция \(f(x_1,x_2,…,x_n)\), связывающая некоторые параметры \(x_i\), что ни сама функция \(f\), ни ее логическое отрицание \(-f\) не могут быть выведены из этой теории».
Теория турбомашин по своей сути непротиворечива и достаточно богата, однако вышеуказанная связь вибрационных перемещений и эффективности ТД не может быть из нее выведена и не может быть опровергнута. Отсюда следует, что использование нейронных аппроксиматоров может служить универсальным решением для поиска связей между контролируемыми параметрами при испытаниях и теми параметрами, области определения и значений которых дается в рамках теории турбомашин.
На основании вышесказанного в качестве альтернативы классическим методиками пересчета энергетических характеристик ТД при условиях испытаний с учетом достижения условий автомодельности процессов расширения может быть предложена концепция неявного пересчета этих характеристик, которая представлена на рисунке 6 и состоит из следующих этапов:
Этап 1 – Наработка данных и обучение нейронных сетей. В процессе испытаний машины при условиях, которые могут быть реализованы с учетом технологических возможностей испытательного участка, а также в процессе непосредственной эксплуатации, происходит наработка, разметка и формирование снимков состояния, содержащих числовые значения конструктивных особенностей ТД и условий его работы, в том числе расход и тип рабочей среды. Массив данных используется для обучения нейронных сетей, которые в наиболее простом случае могут быть построены по архитектуре однослойного персептрона (см. рисунок 7).
Этап 2 – Аппроксимация данных при последующих испытаниях. Для типовых машин, на данных об эксплуатации которых были обучены нейронные сети, в процессе испытаний параллельно с классическими методами пересчета энергетических характеристик используется аппроксимация массива входных данных (снимка состояния) с почти мгновенным получением значения характеристик машины.
Общий вид нейронной сети представлен на рисунке 7.
Отработка нейронных сетевых алгоритмов в части выбора архитектуры сети, а также числа нейронов в скрытых слоях является сложной оптимизационной задачей, фундамент для решений которой может быть заложен в виде массива должным образом размеченных данных о параметрах машины в процессе испытаний и при эксплуатации.
Как было показано в обзорной главе исследования, на сегодняшний день нейронные аппроксиматоры успешно используются в качестве замены специализированным программным продуктам для CFD-расчетов [7] для определения характеристик турбодетандеров поскольку имеют существенно более высокое быстродействие. Обученная на массиве из порядка 200 выборок, данные каждой из которых была получены в ходе CFD-расчетов длительностью порядка 40 часов, нейронная сеть определяла массив выходных параметров за доли секунды, в результате чего были построены зависимости изоэнтропного КПД ТД от двух параметров одновременно (см. рисунок 8) [8].
В рамках концепции неявного пересчета энергетических характеристик ТД для демонстрации работоспособности и производительности решения, а также отработки архитектуры сетевых аппроксиматоров предложено использовать в качестве массива данных для обучения сетей результаты пересчета энергетических характеристик, полученные по классическим методикам, представленным в данной главе исследования. Наиболее очевидный результат обучения и применения нейронных сетей в рамках концепции – возможность исключить итерационные алгоритмы и снизить время расчета энергетических характеристик при испытаниях.
Работы в области внедрения сетевых аппроксиматоров в различные области науки и техники активно ведутся в период с 2018-2019 гг. вследствие резкого роста производительности вычислительных устройств, снижения их относительной стоимости и повышения доступности для использования. Поэтому одна из важнейших задач методики автоматизированных испытаний и цифровой базы данных в ее основе является наработка и разметка данных о характеристиках ТД для целей оптимального проектирования машин и развития методов предиктивной аналитики на основе нейронных сетевых аппроксиматоров.
Программа автоматизированных испытаний
Исследование характеристик ТД в соответствии с приведенным ранее перечнем испытаний и с учетом выполнения требований к средствам проведения испытаний посредством функциональных возможностей используемого программно-аппаратного комплекса (ПАК) осуществляется по динамически формируемой программе, включающей ряд методик:
- методика определения условий испытаний, при которых достигается автомодельность процессов расширения в проточной части ТД;
- методика испытаний на рабочем веществе, отличном от расчетного, при нерасчетных частотах вращения ротора и отношении давления;
- методика испытаний при пониженных частотах вращения ротора на расчетном рабочем веществе и при расчетном перепаде давлений;
- методика испытаний на нерасчетном отношении давлении на расчетном рабочем веществе.
Формирование программы испытаний осуществляется на основании данных, которые задаются оператором при создании экземпляра стенда для испытаний в пользовательском интерфейсе ПАК:
- сведения об изделии, включая название, обозначение, номер роторной вставки и пр.;
- сведения о составе технической комиссии и типе проводимого испытания в соответствии с классификацией, предложенной ранее;
- расчетные параметры машины, в том числе рабочее вещество, температуры и давления вдоль элементов проточной части, конструктивные характеристики машины и пр.;
- условия испытаний в части рабочей среды, предельных значений давления и расхода потока в начале расширения.
По результатам оценки входных параметров алгоритмами ПАК выводятся рекомендации по режиму испытаний, обеспечивающему выполнение критериев автомодельности процессов расширения при условиях испытаний и реальных эксплуатационных. Если обеспечение выполнения условий, соответствующих рекомендациям, невозможно, ПАК запрашивает у оператора подтверждение на динамическое формирование программы в процессе испытаний в соответствии алгоритмом, представленном на рисунке 9. При этом определяется степень пригодности данных для их последующего использования при обучении нейронных сетей происходит автоматически в процессе испытаний.
На рисунке 9 зеленым цветом обозначены режимы испытаний, при которых в цифровой БД наработанные данные автоматически помечаются как пригодные для обучения нейронных сетей без дополнительных действий, а синим цветом – режимы, требующие дополнительного анализа и оценки степени достижения автомодельности процессов расширения. Обучение нейронных сетей наработанными данными при режимах, отмеченных синим цветом, корректно в случае наличия дополнительного массива сведений об опытной эксплуатации машины в расчетных условиях.
Следует отметить, что в случае наличия конструктивной возможности ТД воздействовать на треугольник скоростей на выходе из СА у оператора дополнительно запрашивается зависимость площади горла сопла от угла его установки, и испытания разделяются на два этапа:
Этап 1 – Производится расчет кинематики потока при различных положениях сопел с учетом деформации треугольника скоростей на выходе из СА. Для испытаний предлагается такое значение угла установки, при котором теоретически достигается наибольшее значение изоэнтропного КПД ТД при фиксированном перепаде давления. Значение приведенной скорости \(x_s\), при котором был получен наибольший изоэнтропный КПД, принимается в качестве опорного при пересчете характеристик ТД по методике испытаний при пониженных частотах вращения ротора. Предложенный подход требует натурных исследований с корреляцией на действительные характеристики машины при условиях ее эксплуатации.
Этап 2 – Положение сопел варьируется и в процессе испытаний достигается наибольшая из возможных частота вращения ротора с целью обоснования прочностных характеристик и устойчивости ротора. Программа авторизированных испытаний является обобщением ранее приведенных методик пересчета характеристик ТД в зависимости от фактически обеспечиваемых условий при модельных режимах на испытательном участке. Предложенный комплексный автоматизированный подход к исследованию характеристик ТД в авторитетной научно-технической литературе и в публикациях в ведущих изданиях международного уровня ранее не описывался и не предлагался.
Заключение
Предлагаемые программа и методика испытаний ТД опираются на предложенный перечень и состав испытаний, представляющих научный и практических интерес в целях оптимального проектирования машин, и могут быть использованы в качестве основы для закрепления в нормативной документации и в государственных стандартах порядка и методов исследования характеристик ТД в целом.
Наиболее важным с точки зрения корректного определения характеристик ТД в процессе испытаний является достижение условий автомодельности процессов расширения при модельных условиях и реальных эксплуатационных. Для этого был рассмотрен ряд критериев подобия, из которого с учетом опыта испытаний турбомашин (в частности турбокомпрессоров) выбраны:
- простой критерий - автомодельность процесса расширения считается достигнутой, если в горле СА совпадает для расчетного и модельного режима число Маха;
- составной критерий - автомодельность процесса расширения считается достигнутой, если в горле СА совпадает для расчетного и модельного режима произведение показателя политропы на квадрат числа Маха.
Условие выбора критерия подобия заключается в оценке расхождения локальной скорости звука, рассчитанной с учетом геометрии СА (скоростного коэффициента) и с учетом теплофизических свойств рабочего вещества. Если влияние геометрии СА на течение потока существенно, что наблюдается в случае смесевого рабочего вещества и степени реактивности \(θ>0,7\), применяется составной критерий подобия. В остальных случаях допустимо использование простого критерия подобия.
В зависимости от условий испытаний, обеспечиваемых технологическими особенностями испытательного участки, в динамически формируемой программе реализуются методики:
- испытаний на рабочем веществе, отличном от расчетного, при нерасчетных частотах вращения ротора и отношении давления;
- испытаний при пониженных частотах вращения ротора на расчетном рабочем веществе и при расчетном перепаде давлений;
- испытаний на нерасчетном отношении давлении на расчетном рабочем веществе.
В качестве альтернативы классическим методам предложена концепция неявного пересчета энергетических характеристик, основанная на использовании достижений информационных технологий в части нейронных сетей и машинного обучения. Реализация такого подхода основывается на обучении нейронных сетей не только на массиве данных, наработанных в процессе испытаний, но и на данных, полученных при эксплуатации машины. Для отработки архитектуры нейронных сетей и определения оптимального объема выборки для обучения предложено использовать результаты расчетов по классическим методикам.
Список источников
1. Рис В.Ф. Центробежные компрессорные машины. Ленинград, Машиностроение, 1964. 336 с.
2. Галеркин Ю.Б. Турбокомпрессоры. Рабочий процесс, расчет и проектирование проточной части. Москва, Изд-во КХТ, 2010. 596 с.
3. Кириллов И.И. Теория турбомашин. Изд. «Машиностроение». 1964. 512 с. с илл.
4. Антонов А.Н., Архаров А.М., Архаров И.А. и др. Машины низкотемпературной техники. Криогенные машины и инструменты: учебник для вузов; под общ. ред. А.М. Архарова и И.К. Буткевича. – 2-е изд., испр. – Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 533, [3] с.: ил.
5. Шерстюк А.Н., Одноволова О.В. Построение характеристик турбодетандера по результатам его испытаний / Техническая справка. АО «НПО «Гелиймаш».
6. Шерстюк А.Н., Русинова Д.А. Характеристики турбодетандеров с тормозными нагрузочными устройствами. Технические газы, № 1-2, 2001 г.
7. Kumar M., Biswal R., Behera SK., Kumar A., Sahoo RK. Experimental and numerical analysis to predict the performance of a turboexpander at cryogenic temperature. Engineering Reports. 2021; 3. https://doi.org/10.1002/eng2.12346.
8. Kumar M., Panda D., Kumar A., Sahoo R.K., Behera S.K. Preliminary design, flow field, and thermal performance analysis of a helium turboexpander: a numerical approach. SN Applied Science. 2019; 1. DOI: https://doi.org/10.1007/s42452-019-1503-3.