Современные тенденции к созданию и развитию бережливых производств, повышению энергоэффективности технологических процессов и снижению влияния техногенного воздействия человека на окружающую среду требуют активного применения математического аппарата для анализа функций принятых критериев оптимизации.
Под оптимизацией (системы) в общем случае принимается процесс поиска наиболее рациональных значений варьируемых параметров (в системе), в большей степени удовлетворяющих всем введенным качественным и количественным критериям.
В преобладающем большинстве случаев при анализе технологических процессов в теплотехнике возможно определить такие критерии, функциональная интерпретация которых имеет строгий математический оптимум – минимум или максимум, соответствующий определенному значению варьируемого параметра.
Например, для криогенных систем такими функциями могут быть:
- зависимость доли жидкости относительно расхода прямого потока в циклах ожижения от давления компримирования;
- зависимость холодильного коэффициента в циклах термостатирования от давления компримирования;
- зависимость степени термодинамического совершенства для циклов с определенными идеальными аналогами от давления компримирования;
- зависимость относительной стоимости единицы холодопроизводительности от расхода (доли относительно расхода прямого потока) жидкости, необходимой к подводу в сборник рефрижераторов, работающих по сателлитному принципу (с избыточным обратным потоком).
При этом довольно часто возникает необходимость оценивать зависимости для критериев, базовая (аппроксимирующая) функция (часто логарифм) которых строго монотонная. Для этого применяются подходы инженерного анализа – метод двух касательных.
Очевидно, метод не может иметь строгих математических оснований, результаты в большинстве случаев являются субъективными и зависят от принятых критериев оценки скорости роста анализируемой функции.
Ввиду необъективной природы метода или отсутствия сведений о его существовании студенты, как правило, избегают выбора критериев оптимизации с монотонными зависимостями.
Рассмотрим метод в приложении к конкретному примеру – зависимость холодильного коэффициента в цикле Сименса-Клода от давления компримирования.
Общая характеристика анализируемой зависимости:
- строго монотонная;
- имеет горизонтальную асимптоту на бесконечности;
- область определения ограничена некоторым значением сверху, при котором происходит противоречие с физическими / термодинамическими законами – эффективность процесса теплообмена в основном теплообменном аппарате выше 100 %;
- базовая (аппроксимирующая) функция – логарифм.
Применение графической интерпретации метода заключается в следующем:
- область определения функции условно делится на две зоны: область активного роста и зона асимптотического стремления;
- множества значений функциональной зависимости в каждой области аппроксимируются до прямой;
- абсцисса точки пересечения прямых является условным оптимумом по результатам инженерного анализа;
- в некоторых случаях целесообразно принять итоговое значение варьируемого параметра оптимизации на 10–15 % выше, чем определено графически, если такое изменение не приводит к переходу в следующий класс оборудования по давлению, необходимости применения более жестких требований нормативной документации и пр.
Таким образом, физический смысл применения метода двух касательных заключается в достижении баланса между относительно полным использованием области активного роста и нерациональным повышением варьируемого параметра при незначительном росте функции в области асимптотического стремления на 5–10 %.
Аналитическая интерпретация метода заключается в следующем:
- осуществляется численное дифференцирование функции (представленной двумерным массивом данных вида [х, у]i) методом взвешенной центральной разности с некоторым шагом относительно точек с индексами i, i-1 и i+1 до N-2 точки;
- для наперед заданного веса области активного роста относительно всей «длины» (например, доля 0…0,3) области определения осуществляется аппроксимация функции до прямой с учетом максимального значения производной в этой области;
- для наперед заданного веса области асимптотического стремления относительно всей «длины» (например, доля 0.7…1) области определения осуществляется аппроксимация функции до прямой с учетом минимального значения производной в этой области;
- определяется точка пересечения найденных касательных к соответствующим областям, в качестве результирующего значения варьируемого параметра принимается абсцисса точки пересечения;
- при необходимости оценивается относительное отклонение значения функции для абсциссы точки пересечения от среднего (арифметического или интегрального) значения функции или максимального значения функции в области определения.
Метод двух касательных – хороший инструмент инженерного анализа, который нужно научиться грамотно использовать. Студентам рекомендуется изучить графическую интерпретацию подхода и потренироваться использовать её для типовых зависимостей в процессе обучения.